[백준]12865: 평범한 배낭

https://www.acmicpc.net/problem/12865

12865번: 평범한 배낭

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

예제 입력 1 

4 7
6 13
4 8
3 6
5 12

예제 출력 1 

14

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풀이

배낭 문제라는 유명한 dp 점화식이 적용되는 대표적인 문제이다.

다음과 같은 dp 배열이 최종적으로 만들어지는 배열이다.

문제에서 우린 W : [6, 4, 3, 5] , V: [13, 8, 6, 12] 의 무게와 가치를 가진 물건이 있다.

dp배열의 행 1, 2, 3, 4는 인덱스를 나타내게된다.(예외처리를 하기 싫어서 +1을 해주었다.)

dp배열의 열은 K 즉 무게를 뜻한다는 것을 알 수 있다.

그럼 dp[1][5]가 뜻하는 것은 무엇일까?

바로 첫번째 물건을 배낭에 담았을 때 무게 5로 가능한 최대 가치다. 첫번째 물건은 W : 6 V : 13이기때문에 5의 무게론 담을 수 없기때문에

5까진 모두 0이고 6에 13이 채워지게된다.

그럼 여기서 의문은 왜 7에도 13이 채워졌을까? 라고 생각할 수 있다. 무게 7일때도 무게 6을 담을 수 있기 때문이다.

다음은 2번째 (4, 8)이니 dp[2][4] = 8임을 알 수 있다.

여기선 dp[2][6] = 13으로 바뀌게되는데 이유가 무엇일까?

무게 6일땐 이미 처음에 가방에 넣었던 1번째 (6, 13)을 넣는게 더 큰 가치를 넣는것이기 때문이다.

여기서 점화식 하나가 들어가게된다.

1) dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

다음은 3번째 (3, 6)을 생각해보겠다. dp[3][3] = 6이 되고 1번 점화식에 의해 dp[3][4] = 8 dp[3][5] = 8 dp[3][6] = 13이 채워지게 된다. dp[3][7]에서 14가 채워지는 경우를 다시 생각해보겠다.

현재 우린무게 6, 4, 3까지 확인을했다. 여기서 사람의 눈으로 보면 알 수 있듯이 4 + 3 = 7 이라는 두개를 담을 수 있는 최초의 경우가 발생하게 된다. 이것을 또 점화식으로 표현해보면 다음과 같다.

2) dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], V[i] + dp[i][j-W[i]);

여기서 V[i] + dp[i][j-W[i]]가 의미하는바가 무엇인지 확인해보면 배낭문제의 점화식은 끝이난다.

현재 3번째 가치인 V[3] = 6 , 무게 W[3] = 3

V[3] + dp[3][7-W[3]] = 6 + dp[3][4] = 6 + 8 = 14가 된다.

즉, 현재 3번째 무게의 가치 + (현재 담을 수 있는 무게 - 3번째무게)의 가치이다.

dp[3][4]는 세번째 물건을 무게 4로 담을 수 있는 최대가 저장돼 있음을 이해할 수 있어야 한다.

1) 2)의 점화식에서 1)은 의미가 없음을 알 수 있다.

위 식에대한 코드는 다음과 같다.

for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 1; j <= K; j++) {
        //현재 가방에 넣을 수 있다면
        if (W[i] <= j) {
            dp[i][j] = Math.max(V[i] + dp[i - 1][j - W[i]], dp[i - 1][j]);
        } else {
            //가방에 넣을 수 없는 경우
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

전체 코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class BJ_G5_12865_평범한배낭 {

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        int N = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int K = Integer.parseInt(st.nextToken());

        int[][] dp = new int[N + 1][K + 1];
        int[] W = new int[N + 1];
        int[] V = new int[N + 1];

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            W[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
            V[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = 1; j <= K; j++) {
                //현재 가방에 넣을 수 있다면
                if (W[i] <= j) {
                    dp[i][j] = Math.max(V[i] + dp[i - 1][j - W[i]], dp[i - 1][j]);
                } else {
                    //가방에 넣을 수 없는 경우
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][K]);
    }

}